Un problema di Arnold

Sia data la successione  (2^n)_n. È più frequente che la cifra iniziale sia 7 o 8? E quanto più frequente?

Consideriamo l’intervallo [10^k,10^{k+1}). I numeri che hanno come prima cifra a sono tra 10^{\log a+k} e 10^{\log (a+1)+k}. Ora, 2^n=10^{n\log 2}, per cui  la prima cifra è a se \log a+k<n\log 2<\log(a+1)+k. n\log 2 può perciò assumere al più

\displaystyle N_a\sim\log\left(1+\frac{1}{a}\right)

valori che, come si vede, è indipendente da k. Immaginando la successione come una mappa discreta sulla circonferenza nel piano complesso, nella forma

r=e^{2\pi i n\log 2},

possiamo applicare il teorema del ritorno di Poincaré ottenendo nel limite che N_a\log 2=\log\left(1+\frac{1}{a}\right), da cui

\displaystyle \frac{N_a}{N_b}=\frac{\log\left(1+{1\over a}\right)}{\log\left(1+{1\over b}\right)}

per cui risulta più frequente il più piccolo tra a e b.

Problema tratto dal testo di Vladimir I. Arnold
Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti University Press, 2010

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