Un problema di Arnold

Sia data la successione $(2^n)_n$ . È più frequente che la cifra iniziale sia 7 o 8? E quanto più frequente?

Consideriamo l’intervallo $[10^k,10^{k+1})$ . I numeri che hanno come prima cifra $a$ sono tra $10^{\log a+k}$ e $10^{\log (a+1)+k}$ . Ora, $2^n=10^{n\log 2}$ , per cui la prima cifra è $a$ se $\log a+k<n\log 2<\log(a+1)+k$ . $n\log 2$ può perciò assumere al più

$\displaystyle N_a\sim\log\left(1+\frac{1}{a}\right)$

valori che, come si vede, è indipendente da $k$ . Immaginando la successione come una mappa discreta sulla circonferenza nel piano complesso, nella forma