Una funzione di partizione

Si consideri un sistema il cui spettro, in unità appropriate, è dato da

E_n=\ln n,\quad n=1,2,\dots.

Posto il sistema a temperatura \beta^{-1}, la sua funzione di partizione nell’ensemble canonico è data da Z(\beta)=\sum_n e^{-\beta\ln n}.

1. Discutere i valori di \beta per cui la funzione Z(\beta) è definita ed identificare il valore \beta_c per cui c’è una singolarità.

La funzione Z(\beta)=\sum_n e^{-\beta\ln n}=\sum_n\frac{1}{n^\beta}\equiv\zeta(\beta) è la funzione di Riemann. La serie diverge per \beta \leq1, essendo in tal caso \frac{1}{n}\leq \frac{1}{n^\beta}. Per \beta\in (1,2) è utile considerare il criterio di condensazione di Cauchy:

\sum_n 2^n\frac{1}{2^{\beta n}}=\sum_n\left(\frac{1}{2^{\beta-1}}\right)^n

che è una serie geometrica convergente per \beta >1.

2. Trovare per \beta\to +\infty l’andamento di \langle E\rangle. Provare inoltre che per \beta\to \beta_c l’andamento è \langle E\rangle\sim\frac{1}{\beta-\beta_c}

Per \beta\to +\infty,

\langle E\rangle=\frac{1}{Z(\beta)}\sum_n\frac{\ln n}{n^\beta}\sim \frac{\ln2}{2^\beta},

dato che Z(\beta)\to 1. Invece, per \beta\to\beta_c, abbiamo

\sum_n\frac{1}{n^\beta}\sim\int_1^\infty\frac{dx}{x^\beta}=\frac{1}{\beta-1},\quad \sum_n\frac{\ln n}{n^\beta}\sim\int_1^\infty\frac{\ln x}{x^\beta}dx=\frac{1}{(\beta-1)^2}

ovvero

\langle E\rangle\sim \frac{\sum_n\frac{\ln n}{n^\beta}}{\sum_n\frac{1}{n^\beta}}\sim\frac{1}{\beta-1}.

3. Provare che, per quei valori di \beta per cui Z(\beta) è definita, vale l’identità Z(\beta)=\prod_k\frac{1}{1-\frac{1}{p_k^\beta}}, dove il prodotto è su tutti i primi p_k.

Basta osservare che

\Pi(\beta):=\prod_k\frac{1}{1-\frac{1}{p_k^\beta}} = \prod_k\sum_np_k^{-\beta n}.

Il prodotto fa sì che compaiano tutte le combinazioni distinte di potenze di primi, ciascuna una sola volta, elevate globalmente ciascuna a -\beta. Questo significa che compaiono tutti i naturali, ovvero \prod_k\frac{1}{1-\frac{1}{p_k^\beta}} =\sum_n n^{-\beta}=Z(\beta).

4. Mostrare che l’esistenza del punto singolare \beta_c implica l’esistenza di infiniti primi.

Si osservi che, per l’identità presentata sopra, il numero di primi non può essere finito in quanto \lim_{\beta\to\beta_c}\Pi(\beta)=\lim_{\beta\to\beta_c}Z(\beta)=+\infty; ma ciò è impossibile se la produttoria a sinistra fosse composta da un numero finito di fattori.

PaGu, Pingu, Phil, marco.

Esercizio dalla prova di ammissione al corso di PhD della Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati di Trieste
anno 2001, settore Fisica Matematica

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