Una superficie di rivoluzione

Data una funzione f(z) a valori positivi sull’intervallo a\leq z\leq b, si consideri una superficie di rivoluzione nello spazio euclideo \mathbb R^3, \sqrt{x^2+y^2}=f(z). Si dimostri che le geodetiche sulla superficie sono curve che soddisfano la seguente proprietà: chiamato \phi l’angolo della geodetica con il parallelo z = \text{costante} allora il prodotto f(z) \cos \phi non dipende da z.

La geodetica sulla superficie si può ottenere pensando al moto di una particella vincolata sulla superficie non sottoposta ad altri potenziali. La lagrangiana che descrive il moto del corpo è data da

\displaystyle L=\frac{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}{2}=\frac{\left[(f'(z))^2+1\right]\dot z^2+f^2(z)\dot \varphi^2}{2}

(si è passati in coordinate cilindriche). Come si vede la variabile \varphi è ciclica, dunque la quantità

\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot\varphi}=f^2(z)\dot\varphi

si conserva. Ma f(z)\dot \varphi=v_\varphi non è altro che la componente della velocità lungo il parallelo, che può scriversi v\cos\phi, dove v è il modulo della velocità e \phi è l’angolo specificato nel problema. Esso è inoltre costante, dato che l’energia si conserva. Dunque

f^2(z)\dot\phi=f(z)v\cos\phi=\text{costante}\Rightarrow f(z)\cos\phi=\text{costante}.

PaGu, marco

Metodo alternativo È possibile derivare la legge sopra da considerazioni di natura locale ricorrendo alla legge di Snell, supponendo di considerare un intorno di un punto della geodetica sufficientemente piccolo. In questo intorno i tratti della geodetica sopra e sotto il parallelo che passa per il punto si possono considerare rettilinei. Allora vale una relazione tipo legge di Snell n_1\cos\phi_1=n_2\cos\phi_2 (nella forma usuale della legge di Snell compare l’angolo \theta complementare a \phi; vedi la figura).

Schema per il metodo grafico

Dunque \frac{\cos\varphi_1}{\cos\varphi_2}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{v_\phi^2}{v_\phi^1}, dove v_\phi^i è la velocità nella direzione \phi nella parte i (si suppone \dot z\ll 1 in quanto la variazione è intesa su strisce estremamente sottili). Dunque \frac{\cos\varphi_1}{\cos\varphi_2}=\frac{f(z_2)}{f(z_1)}.

marco

Esercizio dalle dispense di Meccanica Analitica del prof. Dubrovin, Università di Trieste

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