Salto con l’asta


Il 14 novembre 1918, in un aula della Regia Università di Roma, un diciassettenne Enrico Fermi sosteneva il test di ammissione alla Scuola Normale Superiore di Pisa con un tema dalla traccia Caratteri distintivi del suono e loro cause. Dopo pochi righi introduttivi, Fermi scrive:

Come vibrano i corpi? Come l’aria trasmette le vibrazioni? Per rispondere alla prima questione mi limiterò a trattare un caso particolare; le vibrazioni trasversali di una verga elastica incastrata a una estremità e perfettamente libera all’altra. Supporremo inoltre la verga omogenea rettilinea e le vibrazioni piccolissime e piane. Prenderemo la posizione di riposo della verga per asse delle x e il punto di incastro per centro delle coordinate. Se con y indiciamo lo spostamento dal punto di ascissa x al tempo t, le vibrazioni essendo piccolissime, si ha l’equazione

\displaystyle\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}+a^2\frac{\partial^4 y}{\partial x^4}=0,

dove per brevità ho posto a^2=\frac{EI}{m}, m essendo la massa per unità di lunghezza, E il modulo di elasticità della verga ed I il momento di inerzia della sua sezione.

Fermi azzarda una derivazione, andando a memoria e ricordando probabilmente testi di ingegneria letti nel periodo precedente l’esame. Il risultato sorprende comunque moltissimo i commissari.

La commissione è lieta di constatare che il giovane Fermi ha risposto mostrando ampiamente di avere una cultura superiore di molto a quella che ordinariamente si riscontra negli studenti ottimi di scuole secondarie. Il Fermi ha esposto i vari argomenti con molta esattezza, rigore matematico e precisione massima, mostrando completa padronanza degli argomenti anche più recentemente illustrati.
Giulio Pittarelli – Federico Raffaele – Filippo Eredia

L’equazione citata da Fermi è legata ad un interessante problema commentato da Richard Feynman molti anni dopo durante una cena in compagnia del suo amico Daniel Hillis: perché prendendo uno spaghetto crudo per le estremità e curvandolo fino alla rottura questo tende a rompersi in tre (o più pezzi) e non due?

Se si prende uno spaghetto e lo si rompe, finirà per rompersi quasi sempre in tre pezzi. Questo è un fatto — ma perché si rompe in tre pezzi? Abbiamo passato le successive due ore formulando teorie folli. Abbiamo provato a rompere gli spaghetti sott’acqua, perché pensavamo potesse attenuare le onde acustiche, le vibrazioni. Bene, alla fine dopo due ore ci siamo ritrovati con spaghetti rotti sparsi per tutta la cucina e nessuna buona teoria che spiegasse perché gli spaghetti si rompono in tre parti.

Daniel Hillis

Feynman non riuscì a risolvere il problema: lo spaghetto risultò più ostico dell’elettrodinamica. Solo nel 2004 il problema è stato chiarito grazie a due matematici francesi dell’Università di Parigi VI, Audoly e Neukirch, poi premiati con meritato IgNobel. I due sono partiti esattamente dall’equazione citata da Fermi, utilizzando però una versione nota per la curvatura \kappa(s,t)

\displaystyle \partial_t^2\kappa(s,t)+\frac{1}{a^2}\partial_s^4\kappa(s,t)=0

dove s è l’ascissa curvilinea. L’idea è valutare l’evoluzione della curvatura dello spaghetto tenendo conto del fatto che esiste una curvatura limite \kappa^* oltre la quale avviene la rottura in ogni caso. Piegando lo spaghetto, esso si rompe prima in un certo punto. L’evoluzione viene seguita dopo la «prima rottura», considerando uno dei due pezzi dello spaghetto. Si vede infatti che, dopo la prima rottura, in un punto del frammento di spaghetto rimastoci in mano viene raggiunta una curvatura maggiore (di un fattore 1.43 circa) di quella presente all’estremo libero subito dopo la rottura tipicamente il segmento più lungo. Questa vera e propria amplificazione genera solitamente un’ulteriore rottura. È interessante il fatto che il processo avvenga a cascata, ovvero il ragionamento dovrebbe ripetersi per tutti i frammenti via via prodotti (almeno stando al modello matematico).

Lazaro Borges, atleta cubano impegnato nella XXX Olimpiade a Londra, ha sperimentalmente verificato le osservazioni di Feynman, Audoly e Neukirch, suo malgrado.

Per chi ne volesse sapere di più sugli spaghetti, esiste una pagina curata dal dipartimento di matematica della Pennsylvania State University qui.

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