Il teorema della racchetta


La racchetta da tennis è un oggetto che ha, relativamente ai suoi tre assi principali, tre diversi momenti di inerzia, I_3>I_2\gg I_1>0, dove I_1 è il momento di inerzia relativo all’asse passante per il manico, I_2 è quello relativo all’asse normale all’asse 1 e giacente nel piano della racchetta, mentre I_3 è il momento relativo al terzo asse normale agli assi 1 e 2.

Se indichiamo con \mathbf L=(L_1,L_2,L_3) il momento angolare rispetto al riferimento dei tre assi principali, possiamo osservare che il moto si svolge su una superficie dello spazio di coordinate (L_1,L_2,L_3) individuata dalla condizione di conservazione dell’energia

\displaystyle\sum_{i=1}^3\frac{L_i^2}{I_i}=2E;\qquad(1)

inoltre deve valere la conservazione del momento angolare

\displaystyle\sum_{i=1}^3 L_i^2=L^2.\qquad(2)

Le due superfici determinate dalle Equazioni (1) e (2) si intersecano individuando le orbite del moto (ad energia e momento angolare fissati). Ad esempio, fissando l’energia si possono individuare, sull’ellissoide individuato dall’Eq. (1), diverse orbite al variare di L, 2EI_1\leq L^2\leq 2EI_3. Avviene così che per L^2 vicino agli estremi di questo intervallo, le traiettorie sull’ellissoide sono curve chiuse circoscritte attorno ai punti individuati da \mathbf L^3_\pm=(0,0,\pm\sqrt{2EI_3}) e \mathbf L^1_\pm=(\pm\sqrt{2EI_1},0,0). Il moto invece ottenuto ponendoci intorno a \mathbf L^2_\pm=(0,\pm\sqrt{2EI_2},0) è completamente diverso: per questo punto passano due orbite possibili date da due ellissi che passano ciascuna per entrambi i punti della coppia:

Dunque se le condizioni iniziali sono vicine ai punti \mathbf L^1_\pm o \mathbf L^3_\pm, il moto si mantiene circoscritto attorno agli stessi punti, ma vicino al punto \mathbf L^2_\pm esistono orbite di natura diversa, capaci di allontanarsi di molto dalla posizione iniziale per effetto di piccoli spostamenti iniziali. Questo rende di fatto molto difficile mettere in rotazione stabile una racchetta attorno all’asse 2. Benché noto in teoria classica, questo risultato, detto teorema della racchetta, è famoso anche come effetto Dzhanibekov, dal nome dell’astronauta russo che lo notò in orbita nel 1985.

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