Ventiquattro stringaioli baciati


“Sveglio… ore: 07.23; beh, promette bene. Che giorno è? Dunque vediamo… sabato era ieri… ah, domenica 10; che numero banale! Ed il mese? Siamo ancora ad Aprile???” Pappo scende dal letto: è assonnato e si dirige verso la cucina. Pensieroso, decide di fare un paio di somme, giusto per ravvivare la mente: “Allora, Aprile è il quarto mese ed erano le 7 e 23; 7 e 23 fan 30 meno 10 son 20 e 4 fan 24… Mhm 24, altro numero insulso!” Così, leggermente corrucciato e col ventiquattro tra i pensieri, prepara la caffettiera e nell’attesa, siede, contemplando i raggi diffusi dalla vetrata opaca della veranda. “24… il numero di ore in una giornata: capirai che scoperta!”.

Nel frattempo la caffettiera ribolle e Pappo prepara la tazzina. Sorseggiando risiede e riprende a contemplare la vetrata. “Dunque, i divisori di 24 sono 1,2,3,4,6,8,12,24; caspita, son tanti… e se li sommo tutti eccetto 12 e 24 riottengo 24… ma che cavolo! Non è neanche perfetto!” Irritato, distoglie lo sguardo dalla vetrata, mettendosi a fissare il pavimento, laddove una coppia di formiche perlustra in cerca di cibo. “Beate voi due, vi basta contare i passi per essere felici… Una coppia di formiche… aspetta, ma qualcosa di interessante forse c’è: 11+13, guarda un po’, 24 è la somma della terza coppia di primi gemelli!” «Oh, che conforto!» esclama a voce alta tirando un breve sospiro di sollievo. “Ma non può essere solo questo, ci deve essere di più…” riflette, mentre riporta sommessamente lo sguardo sulla luminosa vetrata. Trascorrono le ore, il sole alto nel cielo riscalda tramite i raggi diffusi metà del volto di Pappo: sembra essersi sopito, le braccia son conserte ed il capo, chino, nasconde le palpebre chiuse. D’un tratto s’alza di scatto e lasciando cadere la sedia dietro di sé, brandisce rabbiosamente il pennarello da lavagna ed inizia a scrivere sulla vetrata.

Giunte le prime ore del meriggio, Pappo, soddisfatto, ripone delicatamente il pennarello sul davanzale e, rimirando attonito le incredibili proprietà scoperte, bisbiglia con voce incantata «ventiquattro».

Alcune delle cose scoperte da Pappo nella mattinata sono a dir poco sconvolgenti. Partiamo dalla prima relazione:

\sum_{n=1}^Nn^2=\frac{N}{6}(N+1)(2N+1).

Essa identifica la successione dei numeri piramidali quadratici; in particolare, Pappo ha osservato che il ventiquattresimo numero piramidale è ancora il quadrato di un numero intero. Il nostro studioso si pone allora la domanda se ciò sia vero in generale, ovvero se \exists\,n\in\mathbb{N}\,\backepsilon'\, 1^2+2^2+\dots+n^2=m^2, m\in\mathbb{N}. Al problema diofantino enunciato (noto anche come problema delle palle di cannone per via della struttura piramidale a base quadrata con la quale usualmente venivano raggruppate le palle di cannone), rispose inizialmente É. Lucas nel 1875, congetturando che l’unica soluzione non banale fosse n=24. Dopo più di cent’anni le osservazioni di Lucas venero confermate da E. D. Ma in un articolo apparso nel 1985 ed intitolato “An Elementary Proof of the Solution of the Diofantine Equation 6y^2=x(x+1)(2x+1)“. La dimostrazione presentata da Ma è un esempio di dimostrazione “elementare” (ovvero senza tecniche di analisi complessa) tutt’altro che elementare!

Successivamente sembra proprio che Pappo abbia avuto un’epifania: scrive infatti che

1+2+3+4+\dots=-\frac{1}{12}.

Il primo a fornire una dimostrazione di questo apparente assurdo fu Eulero, uno dei più prolifici matematici della storia, nel lontano 1735. Il ragionamento da lui seguito trae origine dalle proprietà delle serie geometriche: infatti, partendo dalla somma 1+x+x^2+\dots=\frac{1}{1-x}, differenziando ambo i membri e ponendo x=-1 egli trovò che

1-2+3-4+\dots=\frac{1}{4}.

A questo punto gli bastò osservare che (1-2^{-s+1})(1+2+3+\dots)=1^{-s}-2^{-s}+3^{-s}-\dots dalla quale, ponendo s=-1 si ricava l’espressione cercata, ovvero

-3(1+2+3+4+\dots)=1-2+3-4+\dots=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad 1+2+3+4+\dots=-\frac{1}{12}.

Il lettore attento avrà di certo notato però che il raggio di convergenza della serie geometrica non contiene il valore x=-1, in corrispondenza del quale la serie è divergente. Molti abbagli sono stati presi nel corso della storia sul tema delle serie divergenti: per avere un’idea, questo è quanto scrisse il grande matematico N. H. Abel a riguardo

“The divergent series are the invenction of the devil, and it is a shame to base on them any demonstration whatsoever. [(Gardner 1984, p.171; Hoffman 1998, p.218)]”

Ciononostante, la relazione di Eulero può essere formalmente ottenuta attraverso la funzione zeta di Riemann

\zeta(s)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{n^s}=\prod_p\frac{1}{1-p^{-s}},\quad \Re(s)>1.

\zeta(s) è uniformemente convergente sul semipiano \Re(s)>1 e può essere prolungata analiticamente su tutto il piano complesso attraverso l’equazione funzionale di Riemann

\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)=\pi^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta(1-s),\quad \forall\,s\in\mathbb{C}.

Dalla precedente si trova che per n=1,3,5,\dots risulta essere

\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1},

dove B_n rappresenta l’n–esimo numero di Bernoulli. Essendo B_2=\frac{1}{6} troviamo \zeta(-1)=-\frac{1}{12} che è proprio quanto dimostrato da Eulero. E qui arriva l’ingegno di Pappo: in Meccanica Quantistica un oscillatore armonico di frequenza \omega può avere unicamente energie \big\{E_n=\omega(n+\frac{1}{2})\big\}_{n\in\mathbb{N}_0} ed una corda di violino di estremi fissati può vibrare su e giù con diverse frequenze. Pertanto, una stringa che può solo oscillare in una direzione può essere pensata come la collezione di infiniti oscillatori armonici di frequenze \omega=1,2,3,\dots (in opportune unità di misura). Poiché gli stati fondamentali di ciascun oscillatore si sommano, il livello fondamentale della stringa (in unità di \hbar) sarà \frac{1}{2}(1+2+3+\dots)=+\infty. Questo è quanto la Meccanica Quantistica ci dice ed è questo un tipico esempio dei vari infiniti che si incontrano in Teoria Quantistica dei Campi. E se invece adoperassimo il risultato di Eulero? Otterremo allora che

\frac{1}{2}(1+2+3+4+\dots)=-\frac{1}{24};

se poi la stringa vivesse in uno spazio–tempo a 26 dimensioni, allora potrebbe vibrare nelle 24 dimensioni ortogonali alle sue 2 dimensioni superficiali ed il livello energetico fondamentale sarebbe -1. L’argomento diventa sempre più surreale… perché proprio 24+2=26 dimensioni? In Teoria delle Stringhe è cruciale pensare ad una stringa come un oggetto che si richiude su se stesso nel tempo, in pratica un toro.

Diverse forme del toro corrispondono a diverse energie della stringa e sono associate a differenti ampiezze di probabilità. L’espressione per l’ampiezza dipende dal procedimento di costruzione del toro: alla due configurazioni seguenti

deve essere associata la medesima ampiezza, definita in termini dalla funzione di partizione

Z(t)=\sum_{k}e^{-\imath E_kt}.

Dal momento che la funzione di partizione di sistemi statisticamente indipendenti è il prodotto delle funzioni di partizione di ciascun sottosistema, si ottiene che (\hbar=1)

Z_{string}(t)=\prod_{n\in\mathbb{N}}\sum_{k\in\mathbb{N}_0}e^{-\imath\left(k+\frac{1}{2}\right)\omega t}=\prod_{n\in\mathbb{N}}\frac{e^{-\frac{\imath}{2}nt}}{1-e^{-\imath nt}}=e^{-\frac{\imath}{2}(1+2+3+\dots)t}\prod_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{1-e^{-\imath nt}}

avendo adoperato il fatto che la stringa può essere pensata come la collezione di infiniti oscillatori armonici disaccoppiati. Adoperando l’espressione di Eulero, si trova dunque che

Z_{string}(t)=e^{\frac{\imath}{24}t}\prod_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{1-e^{-\imath nt}}.

La precedente espressione deve corrispondenre alle due configurazioni di partenza e cioè deve essere invariante sotto rotazioni di 2\pi. Ciò, evidentemente, non accade, in quanto

Z_{string}(t+2\pi)=e^{\frac{2\pi\imath}{24}}Z_{string}(t).

L’unico modo perché Z_{string} sia invariante rispetto alla costruzione è che la stringa sia capace di oscillare in 24 dimensioni distinte e cioè che sia immersa in uno spazio–tempo a 24+2=26 dimensioni!

Infine, un’altra ragione del perché una stringa deve vibrare in uno spazio–tempo a 24+2 dimensioni è legata al fatto che 24 è un numero baciato. Esso è definito come il numero di ipersfere equivalenti (di stesso iperraggio) che toccano una ipersfera equivalente senza intersecarsi. Il problema, usualmente noto come problema del numero baciato, è quello di determinare il massimo numero baciato possibile in \mathbb{R}^n. In \mathbb{R}^1 ed \mathbb{R}^2 la risposta è banale ed è rispettivamente 2 e 6; in \mathbb{R}^3, invece, la risposta è meno banale ed è 12.

In quattro dimensioni, la risposta è stata trovata nel 2004 da F. Pfender e Z. M. Günter e corrisponde a 24; infine, sono note le espressioni per i numeri massimi baciati nel caso di \mathbb{R}^8, il cui numero baciato è 240 e, soprendentemente, \mathbb{R}^{24} il quale ha numero baciato 196560. I risultati in questi ultimi due spazi derivano dall’esistenza di reticoli fortemente simmetrici in essi contenuti; in particolare, il reticolo \mathrm{E}(8) in \mathbb{R}^8 ed il reticolo di Leech in \mathbb{R}^{24}. Quest’ultimo è di grande utilità in teoria delle stringhe dal momento che è l’unico reticolo che permetta di introdurre un analogo dei vettori di tipo luce relativistici. Per mostrare tale proprietà, si consideri lo spazio \mathbb{R}^{25,1}:=\{x^\mu,\mu=0,1,2,\dots,25\}, munito della metrica

\mathrm{d}s^2=g_{\mu\nu}^{(s)}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^{\nu},\qquad g_{\mu\nu}^{(s)}\equiv\begin{pmatrix}\mathbb{I}_{25}&{\O} \\ {\O}&-1\end{pmatrix}.

All’interno di \mathbb{R}^{25,1} sono contenuti dei vettori di componenti intere del tipo v=(0,1,2,3,\dots,24,70)\in\mathbb{Z}^{26}. L’insieme ottenuto a partire dal complemento ortogonale v^\perp:=\{a\in\mathrm{R}^{25,1}\cap\mathbb{Z}^{26}\,\backepsilon'\,a_\mu v^\mu=0\} è un reticolo a 25 dimensioni. Osservando allora che v_\mu v^\mu=0^2+1^2+2^2+\dots+24^2-70^2=0\,\,\Rightarrow\,\,v\in v^\perp (ovvero v è un vettore di tipo luce in uno spazio–tempo a 26 dimensioni), è possibile costruire il reticolo di Leech \Lambda come lo spazio quoziente a 24 dimensioni v^\perp/v\equiv\Lambda. Pertanto, invece di costruire un toro su un reticolo come quello presentato nelle figure di composizione precedenti, si può pensare di costruire un 24–toro a partire da un reticolo di Leech. Ciò che si ottiene procedendo in questa direzione è il gruppo di simmetria associato alla teoria bosonica di stringa e tale gruppo è il cosiddetto gruppo mostro, un gruppo finito composto da 808017424794512875886459904961710757005754368000000000\simeq 8\times 10^{53} elementi.

Insomma, quante incredibili scoperte ha fatto Pappo in una mattina! E quante magiche proprietà circondano un numero così “insulso” come il 24!

Vorrei dedicare questo post al buon Pappo, il quale oggi (guarda un po’) compie proprio 24 anni! 🙂

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One thought on “Ventiquattro stringaioli baciati

  1. Ogni commento è veramente superfluo (evidentemente anche questo), me lo son gustato da capo a fondo. Devo ringraziarti assolutamente per questo magnifico articolo! Ho fatto proprio bene a coinvolgerti… Merçi beaucoup!

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