Il pendolo è uno dei sistemi fisici più ampiamente studiati durante i corsi di base. In approssimazione lineare, la sua dinamica è descritta da un’equazione differenziale estremamente semplice: indicando con la deviazione dalla verticale del pendolo, si ha

dove è la lunghezza del pendolo e è l’accelerazione di gravità. Il moto di un pendolo in un sistema inerziale è equivalente a quello unidimensionale di una particella individuata dalla coordinata , sottoposta ad un potenziale (che approssima il potenziale gravitazionale reale per piccoli angoli, a meno di un valore costante ininfluente).

Il fatto che il pendolo, così come descritto dalle equazioni precedenti, abbia periodo dipendente solo dalla lunghezza del filo e non dalla massa sospesa né dalle ampiezze delle oscillazioni, ovvero dall’energia (nel limite dell’approssimazione lineare) è cosa nota dai tempi di Galilei. Vogliamo mostrare qui che il potenziale quadratico è anche l’unico potenziale pari che permette moti unidimensionali con periodo indipendente dall’energia.

Per un moto unidimensionale descritto dalla lagrangiana , dove è un potenziale liscio, si ha, supposto che il moto sia limitato dalla condizione ad un intervallo connesso e compatto della retta reale, che il periodo è dato da

Il punto di minimo (che supponiamo unico) sia individuato da . Inoltre supponiamo che il teorema del Dini sia applicabile negli intervalli e , dove il potenziale è dato rispettivamente da e ; allora

.

Utilizziamo ora un parametro ausiliario, , e consideriamo

dove abbiamo ricordato che l’integrale  può essere stimato sostituendo , per cui . Poiché vogliamo che , e (funzione pari) si ha

Il gioco del tennis, oltre a stimolare interessanti riflessioni sociologiche, offre non pochi spunti matematici. Uno di questi, segnalatomi recentemente, è legato allo strumento primo del gioco, la racchetta, la cui geometria può dar vita ad effetti sorprendenti, peraltro consigliati come attività motoria per casa anche a Princeton.

La racchetta da tennis è un oggetto che ha, relativamente ai suoi tre assi principali, tre diversi momenti di inerzia, , dove è il momento di inerzia relativo all’asse passante per il manico, è quello relativo all’asse normale all’asse 1 e giacente nel piano della racchetta, mentre è il momento relativo al terzo asse normale agli assi 1 e 2. Se indichiamo con il momento angolare rispetto al riferimento mobile dei tre assi principali, possiamo osservare che il moto si svolge su una superficie dello spazio di coordinate individuata dalla condizione di conservazione dell’energia

inoltre deve valere la conservazione del momento angolare . Le due superfici si intersecano individuando le orbite del moto (ad energia e momento angolare fissati). Ad esempio, fissando l’energia si possono individuare, sull’ellissoide individuato da (*), diverse orbite al variare di , . Avviene così che per vicino agli estremi di questo intervallo, le traiettorie sull’ellissoide sono curve chiuse circoscritte attorno ai punti individuati da  e . Il moto invece ottenuto ponendoci intorno a è completamente diverso: per questo punto passano due orbite possibili date da due ellissi che passano ciascuna per entrambi i punti della coppia:

Dunque se le condizioni iniziali sono vicine ai punti o , il moto si mantiene circoscritto attorno agli stessi punti, ma vicino al punto esistono orbite di natura diversa, capaci di allontanarsi di molto dalla posizione iniziale per effetto di piccoli spostamenti iniziali. Questo rende di fatto molto difficile mettere in rotazione stabile una racchetta attorno all’asse 2. Benché noto in teoria classica, questo risultato, detto teorema della racchetta, è famoso anche come effetto Dzhanibekov, dal nome dell’astronauta russo che lo notò in orbita nel 1985.

Post Scriptum Ringrazio Archita per la segnalazione!

Ah, che purtroppo i suoi timor son veri!
Tuona e fulmina il Ciel e grandinoso:
Tronca il capo alle spiche ed a’ grani alteri.

Come ben potete vedere sbirciando fuori in questi giorni (e in alcuni casi non è necessario neppure questo) l’estate si sta chiudendo con un clima schizofrenico ed imprevedibile. Le temperature sul Bel Paese continuano ad oscillare con una frequenza troppo elevata e, combinandosi con l’umidità relativa, sembrano prendersi gioco dei meteorologi e di noi poveri mortali abitanti di questo pianeta.

D’altronde la temperatura, si sa, è un qualche cosa di ineffabile, quasi misterioso per il corpo umano: quando valutiamo quanto una giornata sia calda o fredda non facciamo altro che combinare una serie di variabili, solo una delle quali è la temperatura dell’aria.

Tuttavia anche da un punto di vista tecnico la temperatura può manifestare comportamenti imprevedibili. Se si adotta la scala Kelvin delle temperature, ad esempio, è noto che non può aversi una temperatura minore dello zero, che è detto per questo assoluto e si trova a -273.15 gradi Celsius. Nel suo magnifico manuale, Landau scrive:

Consideriamo un corpo isolato, immobile in blocco. Se la temperatura fosse negativa, l’entropia aumenterebbe al decrescere del suo argomento [ovvero l'energia]. Poiché l’entropia tende ad aumentare, il corpo tenderebbe a disintegrarsi spontaneamente disperdendosi (l’impulso totale essendo [con impulso totale del sottosistema ]),in modo tale che l’argomento di ciascuna delle entropie della somma prenda il più piccolo valore possibile. In altre parole, per l’equilibrio dei corpi sarebbe impossibile. [Landau, Lifshitz, Fisica Teorica 5, Editori Riuniti University Press]

La considerazione, come si vede, nasce dalle proprietà del moto macroscopico del sistema in esame. Ma se ci riduciamo ad un modello estremo di particelle prive di impulso e vincolate ad assumere solo due possibili energie, siano ad esempio o , allora possono verificarsi curiose anomalie…

In un sistema siffatto l’energia può assumere valori , ; ogni valore dell’energia può essere ottenuto in modi, per cui l’entropia associata è

,

Entropia per N=10 e ε=1 in funzione di E.

dove . Applicando la solita formula per la temperatura assoluta (espressa in unità di energia)

.

Essendo , la precedente (che è sempre ben definita) fornisce una temperatura negativa per . Esiste una relazione univoca tra e , come già abbiamo ricordato, per cui dalla definizione di otteniamo , ovvero per l’andamento della densità rispetto alla temperatura è il seguente:

Densità dello stato eccitato in funzione di T per ε=1.

Come si vede per alte temperature in modulo , mentre in è presente una discontinuità. Per comprendere perché esistano temperature negative in questo sistema basta considerare la definizione di temperatura ed il significato di entropia. Se maggiore entropia significa sistema ordinato, è chiaro che ad energie alte le particelle si troveranno in uno stato particolarmente ordinato (tutte nello stato ad energia ), pertanto superato c’è un cambio di tendenza: l’aumento di energia corrisponde ad una diminuzione di entropia, ovvero . Tuttavia i domini a temperature differenti sono separati tra loro. Come si vede, per la temperatura è infinita (la formula ha una singolarità) ed inoltre l’entropia raggiunge un massimo e non è possibile che decresca per il noto principio. Pertanto le temperature negative, pur ammesse, non sono raggiungibili (corrispondono all’intervallo , come abbiamo già indicato).

Se i livelli di energia sopra lo fossero infiniti, , , , si ha essenzialmente un gas ideale di Boltzmann, dove come noto non compaiono temperature negative, l’energia assunta può essere arbitrariamente grande e con essa crescono il numero di combinazioni possibili per ottenerla (quindi la derivata dell’entropia rispetto all’energia rimane positiva).

Osservazione

Dalla legge dell’aumento dell’entropia (o dal teorema H di Boltzmann) applicato a due corpi globalmente isolati che indichiamo con 1 e 2, il primo dei quali abbia temperatura negativa e il secondo positiva, si ha

.

Essendo per ipotesi, ciò significa che , ovvero il calore passa sempre dal corpo a temperatura negativa a quello a temperatura positiva.

Nota Il precedente post è ispirato da un esercizio suggerito per l’ammissione alla Scuola Internazionale di Studi Avanzati di Trieste nell’anno 2008 per il corso di Fisica Statistica.

Nota 2 Ho scoperto accidentalmente che l’esercizio suggerito per l’ammissione alla Scuola Internazionale di Studi Avanzati di Trieste nell’anno 2008 per il corso di Fisica Statistica era a sua volta ispirato dal §73 del volume V del corso di Fisica Teorica di Landau e Lifšits. 

Scarborough Fair è una ballata inglese di cui non si conosce con certezza né l’autore né il periodo di composizione. È entrata tuttavia nel canone della musica tradizionale anglosassone e, come spesso avviene nelle tradizioni settentrionali, s’è rapidamente caricata di simbolismi tipici del misticismo celtico. La versione sopra (cantata da H. Westenra, classe 1987) è una delle molte varianti ed è presentata come monologo di una donna (molto più spesso la ballata è un dialogo e le richieste sono da parte di un amato), che invia un messaggio al suo amante alla fiera che si teneva a Scarborough, nel North Yorkshire.

Are you going to Scarborough Fair?
[Parsley, sage, rosemary & thyme]
Remember me to one who lives there
He once was a true love of mine.

Tell him to make me a cambric shirt
[Parsely, sage, rosemary & thyme]
Without no seams nor needlework
Then he’ll be a true love of mine.

Tell him to find me an acre of land
[Parsely, sage, rosemary, & thyme]
Between the salt water and the sea strand
Then he’ll be a true love of mine.

La ballata è un elenco di richieste impossibili che l’amante deve assolvere per non essere respinto. Impossibile è ritagliarsi un acro di terra tra l’acqua salata e la spiaggia, impossibile ottenere una camicia senza giunture né cuciture. Riguardo il significato della salvia, del prezzemolo, del rosmarino e del timo rimando qui, anche per ulteriori approfondimenti sulla ballata. Ma oltre al delicato romanticismo nella canzone, il lato oscuro della mia mente non ha potuto che fare (magari con una impropria associazione di idee) un volo pindarico che lo ha fatto atterrare in un mondo apparentemente diverso e lontano. Una camicia senza cuciture e giunture, fatta di un tessuto sottilissimo e leggero, la batista: come dire una camicia fabbricata con un unico filo, ben disteso su un piano, ripiegato in modo da generare un oggetto bidimensionale che dimentichi la sua natura unidimensionale originale. Un salto ancora più meravigliosamente poetico, a ben vedere.

Nel 1890 Giuseppe Peano riuscì a trovare il metodo per stendere un tessuto bidimensionale con un filo unidimensionale infinitamente lungo. Per ottenere il tessuto, tuttavia, occorre piegare il filo in maniera intricatissima, tanto che la curva che ne deriva, detta curva di Peano, non è dotata di tangente in nessun punto (non è la prima volta che incrociamo questi mostri), la cui costruzione richiama direttamente i lavori di Cantor di pochi anni prima.

La scala del Diavolo

C’era da aspettarsi che per realizzare il desiderio impossibile di un tessuto del genere si dovesse passare per un patto col demonio. Astenersi dunque deboli di spirito. Molti lettori sicuramente conoscono l’insieme di Cantor, definito come

In pratica dunque, procedendo per passi, al primo passo occorre rimuovere l’intervallo , al secondo i due intervalli e , e così via. L’insieme ha una serie di proprietà eccezionali (è chiuso, è costituito da un insieme numerabile di punti, ha misura nulla…). I punti di questa polvere possono essere individuati seguendo un preciso indirizzo, dato da una sequenza di cifre di 0 e 1, che può essere individuato in questo modo: se , assegniamo 0 se , 1 se . La seconda cifra si ottiene procedendo analogamente operando su o . Alla fine si ottiene una successione di 0 e 1 che identifica univocamente (come si può dimostrare) il punto ; ad esempio . Se , spazio degli indirizzi, è l’indirizzo di un certo , allora si prova che tale numero è dato da

(si noti che la serie converge sempre). Ciò che più importa è che è una applicazione bigettiva. La via per l’inferno, però, necessita di una seconda funzione ,

Si può provare abbastanza facilmente che la funzione gode delle seguenti proprietà

1. è uniformemente continua;
2. è suriettiva e di conseguenza non iniettiva (altrimenti avremmo !);
3. è debolmente crescente, ovvero se allora .

Definiamo

La funzione è detta funzione di Cantor o funzione di Vitali o scalinata del demonio, in quanto formata di infiniti gradini; essa è continua in quanto debolmente crescente su ed avendo come immagine un intervallo.

Filo a Peano

Definiamo ora due funzioni e tali che

,

e sia tale che

La funzione ha proprietà notevoli:

1. è continua;
2. è suriettiva ma non iniettiva.

Per estendere il dominio di definizione della curva all’intero intervallo si procede per interpolazione lineare:

dove per , con e sono gli estremi dell’intervallo cui appartiene sottratto a in un certo passo della costruzione di . La funzione è la curva di Peano, è continua e suriettiva. Se si sostituisce con un livello intermedio della costruzione di

si ottiene una figura come la seguente, che esemplifica la natura della curva:

Al limite, intrecciando opportunamente ad ogni svolta della curva, si ottiene un tessuto, ovvero un ricoprimento del quadrato con un oggetto unidimensionale. La curva di Peano non è però iniettiva (come si vede dalla figura sopra) ma suriettiva, come abbiamo detto. La sua scoperta ha rivoluzionato il modo di pensare la dimensione degli spazi numerici e sono state proposte altre curve di Peano nel tempo, come ad esempio la curva di Hilbert:

Un solo filo infinito dunque, basta questo, per far apparire una dimensione in più ed ottenere una follia più grande di un innamoramento.

]]> http://epicarmo.wordpress.com/2011/07/31/la-stoffa-di-peano/feed/ 0 antoniopigafetta Primi sette step nella costruzione dell'insieme di Cantor Funzione di Vitali Curva di Peano Curva di Hilbert http://epicarmo.wordpress.com/2011/07/06/la-gente-la-vuole-cosi/ http://epicarmo.wordpress.com/2011/07/06/la-gente-la-vuole-cosi/#comments Wed, 06 Jul 2011 19:42:56 +0000 Pappo Guldino http://epicarmo.wordpress.com/?p=969 Leggi l'articolo completo →]]>

Dato che la piattaforma su cui vive il presente blog fornisce, tra le altre cose, una statistica delle ricerche tramite cui arrivate qui, ho avuto modo di osservare che i teoremi di Pappo–Guldino (noti anche come teoremi del centroide di Pappo) sono spesso nell’input della ricerca ma, inevitabilmente, non nell’output, dato che su questo sito non comparivano… finora. Pappo di Alessandria ha formulato due teoremi interessanti riguardanti i solidi di rotazione, che sono solitamente trattati nei corsi universitari di base. Prima di enunciarli e dimostrarli, tuttavia, occorre definire il centroide di una dominio A del piano xy (che ovviamente supponiamo misurabile…). Il centroide di A è un punto del piano tale che

Se supponiamo di avere una lamina sottilissima e di densità uniforme sagomata come S e perfettamente piana, il centroide coincide con il baricentro della lamina (per definizione). Analogamente, se abbiamo una curva γ nel piano descritta da una funzione continua e differenziabile si definisce centroide della curva la coppia , dove

Il primo teorema di Pappo riguarda il calcolo dell’area della superficie laterale di un solido di rotazione. Supponiamo di avere una funzione , definita continua e differenziabile su un intervallo . Facciamo ora ruotare l’arco di curva γ corrispondente ai punti per attorno all’asse z di 2π. Allora Pappo ha provato che la superficie descritta da tale curva ha misura

Nello spazio xyz la superficie si calcola con la formula standard. Poiché la simmetria è cilindrica, possiamo parametrizzare la superficie in coordinate cilindriche, scrivendo (secondo la notazione standard)

I parametri della superficie sono quindi il raggio e l’angolo. Pertanto il vettore normale alla superficie ha norma

.

Dunque

Il secondo teorema di Pappo afferma che, se A è una regione del piano definita come

dove f e g sono due funzioni continue su tali che , allora considerato il solido di rotazione ottenuto ruotando di 2π la superficie S attorno all’asse x, il suo volume V è dato da

.

Per dimostrare la formula di Pappo, osserviamo che il volume si calcola considerando il solido, ad esempio, in coordinate cilindriche , e l’angolo di rotazione . Abbiamo che

Abbiamo concluso così la piccola via verso l’immortalità di Pappo di Alessandria.

Il prof. Weierstrass è noto ai più per l’omonimo teorema sulla limitatezza di una funzione o come un pezzo del teorema di Bolzano–Weierstrass sulle successioni. Il prof. Weierstrass è stato tuttavia anche uno dei migliori analisti che ci ha regalato l’Ottocento e ci ha lasciato svariate chicche di matematica superiore. Senza entrare nell’empireo, tuttavia, e rimanendo nei cieli bassi (ma non meno belli) dell’Analisi elementare (o almento, apparentemente tale), Weierstrass ha anche dato il nome ad una funzione definita mediante serie dalle proprietà molto interessanti:

Anzitutto la serie è assolutamente e uniformemente convergente, dato che

La serie dunque converge ad una funzione continua periodica di :

Funzione di Weierstrass

La funzione ha tuttavia una proprietà terribile, dimostrata da Hardy in un suo articolo pubblicato nel 1916: non è differenziabile in alcun punto! Il lavoro di Hardy analizza, in realtà, una generalizzazione della funzione scritta come

Proviamo a calcolare la derivata della funzione di Weierstrass nel nostro caso particolare usando la definizione e ricordando che la serie converge uniformemente:

Per saggiare un po’ le caratteristiche della funzione, poniamo , , . Avviene così che per , essendo ; perciò

Osserviamo che l’insieme è denso nell’intervallo . Infatti dato , possiamo applicare il metodo di bisezione (esattamente quello che si usa nella dimostrazione del teorema degli zeri di Bolzano) per costruire una successione di elementi di X che converga ad . Abbiamo dunque provato che la funzione non ha derivata in nessuno dei punti appartenenti all’insieme X (costituito da soli irrazionali), ma ovviamente questo non basta. Tuttavia dà un’idea (credo) del suo comportamento patologico (dato che stavolta l’insieme numerabile di punti privi di derivata è denso nell’intervallo).

La funzione di Weierstrass è un esempio di come possa sbagliare il senso comune: in effetti è possibile pensare a funzioni continue con al più un’infinità numerabile di punti dove non è possibile calcolare la derivata, ma non altrettanto facilmente una funzione tanto mostruosamente contorta! Peraltro, esistono svariate funzioni che condividono questa eccezionale proprietà.

Il 17 maggio 1990 l’OMS decise di depennare l’omosessualità dalla lista delle malattie psichiche contro cui era necessario combattere. Fino a quella data numerosissimi studi erano stati pubblicati a riguardo e, nella stragrande maggioranza dei casi, vertevano sulla messa a punto di una terapia di tipo ormonale per la cura di quello che veniva considerato un male a tutti gli effetti. L’opinione era così radicata, anche nel mondo scientifico, da aggiungere all’angoscia della «diversità» che tormentava gli omosessuali quella della «malattia». Il 17 maggio, dunque, si è deciso di fissare la giornata mondiale contro l’omofobia. L’Italia, come sapete, è in una situazione molto difficile nello scenario mondiale della lotta all’omosessualità: alla presenza di un governo liberale fortemente conservatore, che ha manifestato atteggiamenti omofobici in più di un’occasione (si veda qui, qui e qui per avere un piccolissimo campionario) si aggiunge, sovrapponendosi ed intersecandosi, la posizione della Chiesa cattolica, che, in linea con molte altre altre religioni diffuse oggidì, è fortemente contraria all’accettazione dell’omosessualità e ha palesemente contrastato iniziative esterne ed, addirittura, interne.

La motivazione di tanta ostilità la conosciamo tutti ed è costantemente sulla bocca dei detrattori: l’omosessualità, dicono, è contro natura. Ora, non so se i soggetti in questione sono soliti informarsi guardando i cartoni della Disney (eppure Pippo è un cane e Clarabella è una mucca, santo Iddio!), ma questo tipo di affermazione è falsa come poche. Anzi, a ben vedere la Natura – quella vera – mostra tra gli animali una sessualità estremamente variegata e per nulla banale.

Ad esempio, viene spesso ribadito che il sesso dovrebbe essere orientato alla riproduzione in maniera esclusiva. Benché questa norma sia oggi tenuta in considerazione quanto lo ius primæ noctis, è opinione diffusa che nel resto della Natura sia abbastanza rispettata. A parte l’entusiasmante società dei bonobo (Pan paniscus), che ha fatto della formula più sesso meno guerre la sua ricetta per la felicità – specie che peraltro condivide con noi un 95% di patrimonio genetico e per questo motivo potrebbe aver diritto di passare da Pan paniscus a Homo paniscus – molte hanno abitudini sessuali complesse e imprevedibili. Nel 2009, ad esempio, una équipe di biologi cinesi ha pubblicato un articolo divertentissimo, dal titolo autoesplicativo Fellatio by Fruit Bats Prolongs Copulation Time, meritevole di IgNobel, puntualmente vinto l’anno successivo. È sorprendente quanto una pratica apparentemente innaturale sia diffusa tra i mammiferi, fino a specie molto diverse dalla nostra. Oltre alle poco epiche gesta del chirottero in questione, se qualcuno di voi ha un cane sa bene che la pratica della fellatio o dell’autofellatio non è ignota ai fedeli compagni dell’uomo, che la praticano assieme ai detti pipistrelli e agli altri canidi, oltre che capre, iene e, chiaramente, primati.

Omosessualità tra leoni (Panthera leo)

L’omosessualità è forse ancora più trasversale tra le specie animali. Oltre alla coppia di pinguini omosessuali a Central Park, New York City, o la scoperta piuttosto recente di pratiche omosessuali tra i delfini, nei gatti domestici sessualmente frustrati e svariate specie di uccelli, tra cui ad esempio le oche selvatiche, è chiaramente tra i primati che l’osservazione e l’analisi si fa interessante, a meno di accettare istanze creazioniste (ma se così fosse, che senso ha fondare considerazioni morali sulla naturalità?). Tra i primati, infatti, sembra che i comportamenti omosessuali siano legati essenzialmente ad un principio di piacere (Vasey, The pursuit of pleasure: an evolutionary history of homosexual behaviour in Japanese macaques, in Homosexual behaviour in animals: an evolutionary perspective, Cambridge) ed è ormai acquisito come un fatto scientifico.

Amanti romani (particolare di una coppa presso il British Museum)

Vorrei però approfondire un piccolo aspetto: come si concilia la teoria evoluzionista con questo comportamento? Chiaramente l’omosessualità, essendo – stavolta sì, per natura – non riproduttiva, non supera nessun tipo di selezione: anzi, si potrebbe dire che non dovrebbe neppure riuscire ad entrare nella storia biologica di una specie. In un articolo del 2000 R.C. Kirkpatrick ha fatto il punto dei risultati raggiunti (The evolution of human homosexual behaviour). È noto anzitutto che l’omosessualità era tutt’altro che inconcepibile nelle civiltà antiche: era anzi, in alcuni contesti, incoraggiata. Oltre alla nota apertura del pensiero greco e romano sull’argomento, è assodato che a Tahiti e sulle Hawaii l’omosessualità era comune in epoca precolombiana, così come tra i nativi americani e in svariate aree dell’Asia e dell’Africa. Questa diffusione nel tempo e nello spazio è stata spiegata da vari evoluzionisti in differenti maniere, ma in generale si è cercata una spiegazione di selezione naturale «indiretta» (in altre parole, l’omosessualità è evoluzionisticamente utile per contributi indiretti alla conservazione della specie):

• gli omosessuali possono dedicarsi completamente all’assistenza della prole dei parenti, non avendone di propria (interessante analisi in vista del tema dell’affido);
• l’omosessualità è legata ad un carattere evolutivamente importante in maniera diretta ancora non identificato (Hutchinson, ipotesi del polimorfismo bilanciato);
• l’omosessualità favorisce non la riproduzione ma piuttosto la sopravvivenza della specie (Kirkpatrick).

L’ultimo punto, in realtà, non è dovuto al Kirkpatrick ma a Platone:

Se si potesse far in modo da costituire uno stato o un esercito costituito solo da amanti e dai loro amori, essi sarebbero i migliori governanti possibili [...] e durante la battaglia l’uno accanto all’altro, benché in pochi, vincerebbero tutti gli uomini. (Platone, Simposio)

Achille e Patroclo

Lo spirito militare della falange greca suona forte nelle righe precedenti (checché ne dica qualche peplum americano) ed appare di una lucidità sconcertante. Benché lo stato dello studio della relazione tra ormoni e omosessualità sia molto confuso (probabilmente a causa dell’approccio completamente sbagliato prima del 1990) e nonostante emergano caute evidenze di correlazioni tra genetica ed omosessualità (il che non vuol dire che si abbia a che fare con un patologia, sia chiaro) appare sempre più evidente che l’omosessualità è frutto della società, addirittura di un bisogno della società parallelo a quello espletato dall’eterosessualità. Per non parlare della terza via, quella della bisessualità, che copre nominalmente l’intero spettro tra gli estremi omo- ed etero- e che probabilmente è la più praticata ma anche la più variegata (non si spiegherebbe, altrimenti, il triste fatto che il mercato umano dei transgender sia in aumento).

In definitiva, la complessità della sessualità umana si innesta benissimo nel contesto della sessualità dei primati in particolare e degli animali in generale. Se poi qualcuno vuol scalzare l’ordine naturale delle cose, s’accomodi. Per parte mia, invito gay e lesbiche a rimandare la cortesia e prendesi il posto che spetta loro nel rispetto della Repubblica e della legge di Natura: confido che, come suggerito dalla moda degli ultimi trent’anni, tra circa 350 anni arriveranno le scuse…

Tra gli altri quesiti, la Pasqua cristiana solleva una questione, in particolare sulla natura di Cristo, che chiaramente è questione di fede in cui difficilmente ci si addentra senza inciampare.

Ma dato che chi scrive è una sorta di masochista di natura, come evidentemente chi legge un post con un titolo in latino nel secolo XXI, non ci scoraggiamo ed approfitteremo della lieta commemorazione per rispolverare alcuni dettagli. Nel seguente post verrà fatta una assunzione alquanto discriminatoria, ovvero si supporrà che il lettore abbia avuto una formazione cattolica di base. Dato che conosco i miei soliti cinque lettori e ho seguito una scuola pubblica, questo non dovrebbe essere una complicazione.

De corpore

Un'altra diavoleria del da Vinci che voleva pure camminare sull'acqua...

Il corpo di Gesù non dovrebbe comportare grossi problemi nell’analisi. Gesù sembra un H. sapiens, sottospecie H. sapiens sapiens, a tutti gli effetti: mangia, beve, soffre la fatica, è vulnerabile ed infine è mortale – anche se non definitivamente… Ciononostante presenta indubbie caratteristiche sovrumane, come la capacità di camminare sull’acqua (Mt 14,22-33). Sebbene qualcuno ci abbia provato con esiti alterni, supponendo che il lago di Tiberiade non fosse costituito da un liquido non newtoniano, ed escludendo la possibilità che semplicemente il fondale fosse particolarmente basso (ovvero a pelo d’acqua), pare che Gesù fosse in grado di cambiare localmente le fasi della materia, ed in particolare riuscisse a domare l’acqua, come Horus (che pure, pare, camminava sull’acqua): la tempesta sedata (Mt 8,23-27; Mc 4,35-41; Lc 8,22-25), la trasformazione di acqua in vino (Gv 2,1-11), il fico che viene fatto seccare (Mt 21,18-22), la pesca miracolosa (Lc 5,1-11) – forse ottenuta manipolando le correnti. Rimangono i miracoli sulla moltiplicazione di pane e pesci e una serie di guarigioni. Si può pensare di tenere mortale e caduco il corpo di Gesù e pensare piuttosto che ogni potere derivi da una componente spirituale non meglio precisata, capace di violare localmente le leggi della Fisica: se pensate sia sorprendente la camminata sull’acqua, meditate su cosa comporta biologicamente la guarigione di un cieco dalla nascita! Sorprende tuttavia che, come nel quadro generale, anche nel particolare talvolta sembri insufficiente la volontà di guarire, come nel caso in cui Gesù guarisce un cieco spalmandogli della saliva sugli occhi (Gv 9,1-7): un’immagine sciamanica, quasi stregonesca (inconcepibile in altre culture monoteistiche come quella islamica). In altri passi sembra impossibile la creazione ex nihilo, come nei brani già citati sulla moltiplicazione dei pani, in una ammissione divina dell’inviolabilità del principio di Lavoisier!

De anima

Duccio da Buoninsegna, Gesù guarisce un cieco con la propria saliva

Insomma, a differenza di eroi mitici come Achille o Eracle, Gesù sembra dotato di un potere spirituale che si sovrappone ad uno stato fisico-corporale identico a quello degli altri uomini: queste proprietà spirituali, tuttavia, gli permetterebbero di manipolare massicciamente le leggi fisiche (in maniera locale) nel mondo attorno a lui e nei fedeli che lo seguono. In fondo, il miracolo più notevole non è altro che l’applicazione di queste capacità al suo medesimo corpo. Sembra che siamo dunque arrivati ad una conclusione legittima: un corpo umano in cui si trova uno spirito divino. Questo spirito potrebbe addirittura non essere dominante, dato che Gesù è tutt’altro che altero e distaccato: si commuove più volte, si altera (Mc 11,15-19; Mt 21,12-17; Lc 19 45-48; Gv 2,12-25) e si dispera (Mt 26,39; Mt 27,46, sebbene il passo sia di dubbia interpretazione). Prima della morte di Gesù, a maggior prova della sua natura divina, da mezzogiorno fino alle tre del pomeriggio si fece buio su tutta la terra (Mc 27,45), ovvero per un arco temporale che avrebbe coinvolto globalmente un’area di ampiezza 225° in longitudine – praticamente dall’odierna Città del Messico a Pechino, senza che nessuno, nemmeno quei pignoli dei Cinesi, se ne accorgesse. Grosso modo potremmo ipotizzare quindi che Gesù sia corporalmente umano e spiritualmente semidivino: insomma, . Sul lato divino in questione si potrebbe pensare che o Gesù semplicemente è solo uomo, che compie miracoli per grazia divina, o è un dio minore al confronto con Yahweh, oppure è pari a Yahweh. I Vangeli sembrerebbero optare per la prima opzione, o al più per la seconda:

Mentre usciva per mettersi in viaggio, un tale gli corse incontro e, gettandosi in ginocchio davanti a lui, gli domandò: “Maestro buono, che cosa devo fare per avere la vita eterna?”. Gesù gli disse: “Perché mi chiami buono? Nessuno è buono, se non Dio solo” (Mc 10,17-18);

Caravaggio, Conversione di san Paolo

Quanto dunque al mangiare le carni immolate agli idoli, noi sappiamo che non esiste alcun idolo al mondo e che non c’è che un Dio solo. E in realtà, anche se vi sono cosiddetti dei sia nel cielo sia sulla terra, e difatti ci sono molti dei e molti signori, per noi c’è un solo Dio, il Padre, dal quale tutto proviene e noi siamo per lui; e un solo Signore Gesù Cristo, in virtù del quale esistono tutte le cose e noi esistiamo per lui. (Prima lettera ai Corinzi, 8,4-6, ma tenete presente che l’ha scritta uno che ha cominciato la carriera battendo la testa cadendo da cavallo, vedi figura)

Non mi trattenere, perché non sono ancora salito al Padre; ma va’ dai miei fratelli e dì loro: Io salgo al Padre mio e Padre vostro, Dio mio e Dio vostro (Gv 20,18)

“Padre mio, se è possibile, passi da me questo calice! Però non come voglio io, ma come vuoi tu!” (Mt 26,39; passo identico in Mc 14,36 e Lc 22,42, come prevedibile…)

Insomma, l’idea di Gesù come dio onnipotente, onnisciente e onnipresente sembra perlomeno tutt’altro che chiara nelle fonti cattoliche (per le non cattoliche, lasciamo perdere in partenza…).

Conciliamoci

Santa Madre Chiesa ha provveduto a disquisire di cristologia in modo abbondante (il che dovrebbe anche far pensare a quanto poco chiaro e cristallino sia il problema anche per chi crede e, tanto per cambiare, penzola minaccioso su tutto il nostro amatissimo rasoio). La questione è stata discussa in una serie di concili ecumenici.

• Cominciamo con una proposta brillante. Nel III secolo Sabellio propose di pensare Padre, Figlio e Spirito Santo come tre manifestazioni di un unico Dio, tre lati di uno stesso triangolo. Entusiasti? Troppo facile. Bocciato nel 220.
  
• Nicea 325 Figlio e Padre sono della stessa sostanza, distinti ed entrambi divini, ma in nessun modo uno sottoposto all’altro, identici nella perfezione e non l’uno (il Figlio) creato dall’altro (il Padre) come affermava Ario, ma generato l’uno dall’altro. Incidentalmente, in questo concilio vene proclamato uno dei primi eretici della storia e una norma moderna e d’avanguardia sull’autocastrazione! (La lunga la disputa sull’arianesimo porterà, di fatto, alla scissione con gli ortodossi nel 1054 sul tema del Filioque).
• Costantinopoli 381 Se ci sono biologi all’ascolto, sapranno spiegare meglio di me che una mitosi fa sì che si creino due cellule perfettamente identiche, con le stesse proprietà, indistinguibili. Ma è anche vero che una mitosi avviene ad un certo istante. Perlomeno c’è un periodo in cui esiste una cellula ed un periodo in cui di cellule ce ne sono due. Quindi se il Figlio è generato e non creato dalla stessa sostanza del Padre, potrebbe pur sempre esserci stato un periodo storico, tipo il tardo Carbonifero, in cui c’è il Padre ma non c’è il Figlio. Per ovviare a ciò a Costantinopoli si decise di collocare la generazione prima di tutti i secoli (qualunque cosa ciò voglia dire).
• Efeso 431 Nel concilio di Efeso viene assunta come forma di Credo quasi definitiva la formulazione messa a punto a Nicea e Costantinopoli. Nasce la Chiesa assira d’Oriente, in quanto viene rigettata la tesi di Nestorio secondo cui in Cristo vi sono due diverse nature che convivono parallelamente ma non conciliabili (quella umana e quella divina): Cristo, invece, è sia uomo che dio, le due nature coesistono armonicamente (!) e Maria è Madre di Dio (deipara, e non solo madre dell’uomo).
• Calcedonia 451 Il monofisismo – ovvero l’idea che Gesù abbia natura solo divina – viene bollato come eresia ed i suoi seguaci vengono espulsi dalla Chiesa (daranno vita poi alla Chiesa armena e a quella Copta). Sarebbe riapparso in Europa, in un qualche modo, con il movimento albigese in Occitania nel XII secolo: Gesù è solo spirito, in quanto ogni oggetto materiale e ogni atto materiale sono opera del demonio. Per avversare gli albigesi, poiché il tempo cambia gli uomini, non fu indetto un concilio ma direttamente una crociata (1209-1229):

[Le armate dei Cattolici] corsero nella città [di Marmande], agitando spade affilate, e fu allora che cominciarono il massacro e lo spaventoso macello. Uomini e donne, baroni, dame, bimbi in fasce vennero tutti spogliati e depredati e passati a fil di spada. Il terreno era coperto di sangue, cervella, frammenti di carne, tronchi senza arti, braccia e gambe mozzate, corpi squartati o sfondati, fegati e cuori tagliati a pezzi o spiaccicati. Era come se fossero piovuti dal cielo. Il sangue scorreva dappertutto per le strade, nei campi, sulla riva del fiume. (Canzone della crociata albigese)

• Parigi 1147 Se qualcuno di voi pensa che la Trinità possa essere vista come un tutt’uno da un punto di vista dell’insieme ma composta da tre elementi quando si vanno a guardare i componenti (come a dire che è un insieme di tre numeri primi), sappia che è un eretico e miscredente, dato che questa ipotesi è stata bocciata nel concilio di Parigi del 1147.

Col Protestantesimo le cose sfuggirono di mano definitivamente e cominciarono a pullulare visioni variegate e originali, fino ad esplodere negli ultimi centocinquant’anni, con i Mormoni (Dio è trino ma non uno), gli Unitari (Dio è uno e non trino), i Testimoni di Geova (Dio è bino e non uno né trino)…

Ho mal di testa. Come al solito l’uomo riesce a stupire per fantasia: di fronte a tutta questa varietà, dare un parere univoco è impossibile, per cui rimane un unico semplice consiglio, di uno che è esperto di colpi di testa:

Quand’ero bambino, parlavo da bambino, pensavo da bambino, ragionavo da bambino. Ma, divenuto un uomo, ciò che era da bambino l’ho abbandonato. (Paolo di Tarso, Prima lettera ai Corinzi, 13,11)

PostScriptum I testi sacri sono ripresi dal sito della Santa Sede. Poi mi dicono che non li leggo…

Come sapete, la parola Pasqua deriva dall’ebraico Pesah (“passare oltre”), termine che fa riferimento all’atto del feroce vendicatore della X piaga d’Egitto (in inglese, invece, Easter deriva dal nome dal nome del dio della primavera Eostre). Per una curiosa circostanza, il progetto divino prevede che sia nella pasqua ebraica che in quella cristiana il passaggio verso la salvezza avvenga mediante il sangue, che è il vero protagonista in entrambi i casi.

Sangue sulle porte degli ebrei, sangue di una generazione di innocenti:

A mezzanotte il Signore percosse ogni primogenito nel paese d’Egitto, dal primogenito del faraone che siede sul trono fino al primogenito del prigioniero nel carcere sotterraneo, e tutti i primogeniti del bestiame. Si alzò il faraone nella notte e con lui i suoi ministri e tutti gli Egiziani; un grande grido scoppiò in Egitto, perché non c’era casa dove non ci fosse un morto! (Ex. 12.29-30)

Ricordiamo che questa ferocia contro uomini e bestie era dovuta al fatto che il Signore aveva reso ostinato il cuore del faraone, il quale non lasciò partire gli Israeliti dal suo paese (Ex. 11.10) – stranezze divine. Ovviamente sangue scorre copioso il giorno della Passione, in cui Cristo viene sottoposto ad una sequenza inusuale di crudeltà, atipica perfino per gli standard di Roma nei confronti dei popoli sottoposti. La Passione di Cristo solletica in maniera tanto vibrante l’immaginario cristiano da aver permesso alla croce di assurgere a simbolo del Cristianesimo e rendere diffusissima la rappresentazione di questo scandalo per i Giudei, follia per i Gentili – ossia Greci e Romani, che s’ostinarono a non capire il motivo di un processo di salvazione così contorto da parte di una divinità onnipotente, cui sembrava non bastasse volerlo. A parte la valanga di questioni teologiche sviluppatasi nei secoli successivi – che ha visto impegnati intelletti arguti e argomentazioni finissime come il credo quia absurdum est di Tertulliano – e la vittoria finale della Patristica per abbandono (fisico) della filosofia greca, la Pasqua ha fornito interessanti spunti di riflessione.

Nicea 325 e.v.

Piero della Francesca, Resurrezione (1450-1463, Piero è il secondo da sinistra)

Evitiamo di seguire tutte le scissioni, discussioni, fraintendimenti, e rimaniamo cattolici. Avrete notato che ogni anno la Pasqua cade in una data diversa che oscilla in un periodo di circa un mese. La colpa è di Costantino, o quasi: nel concilio da lui indetto nel 325 e.v. si stabilì che la Pasqua sarebbe caduta la prima domenica dopo la prima Luna piena successiva all’equinozio di primavera. È chiaro che ad un matematico cominciano inevitabilmente a prudere le mani e vien da chiedersi se è possibile estrarre una formula chiusa per la Pasqua, in modo che, dato l’anno, sia possibile stabilire la data. Prima, però, occorre considerare che, per ragioni di universalità (!) la Chiesa adotta una Luna ecclesiastica, dotata di un periodo approssimativamente eguale a quello della Luna vera, ed è con questa Luna surrogata che occorre fare i calcoli. In secondo luogo, un pagano del V secolo a.e.v., Metone di Atene, ha scoperto che la Luna compie 235 lunazioni in 19 anni, dopodiché le eclissi e le lune nuove si ripetono esattamente nello stesso ordine temporale. Ad ogni anno è stato associato un numero d’oro

dove N indica l’anno (nella convenzione usuale). A tutto ciò si aggiunge che nel 1582 papa Gregorio XIII modificò il calendario giuliano: il sistema introdotto sotto Cesare supponeva che l’anno fosse lungo 365.25 giorni (da cui l’aggiunta di un giorno ogni quattro anni), contro i circa 365.2422 effettivi. Gli undici minuti in più si erano accumulati nel tempo, facendo anticipare costantemente la data dell’equinozio. Per rimediare, Gregorio XIII fece aggiungere dieci giorni dopo il 15 ottobre 1582, a cui fu fatto seguire il 4 ottobre. Per il futuro si stabilì che non occorreva tenere per bisestili gli anni secolari (1700, 1800, 1900…) a meno che non fossero multipli di 400 (tipo il 2000, che infatti è stato regolarmente bisestile). Questa correzione fa sì che, in quattrocento anni, l’anno medio sia

che eccede di 25 secondi l’anno vero, per cui ogni 3000 anni l’equinozio cadrà un giorno prima.

Gauss

I pasticci, come vedete, si sommano, e la situazione si fa intricatissima. Una soluzione a lungo termine è stata data infine da Carl Friederich Gauss nel 1800. Egli mise a punto un algoritmo che è valido fino al 4200 e.v. (a causa di una non corretta informazione a disposizione di Gauss). Gauss stilò anzitutto la tabella seguente.

Egli introdusse i parametri

(le varie operazioni modulo tengono conto degli “scatti” dei vari orologi siderali con l’opportuna correzione dovuta al calendario gregoriano). Gauss ha dimostrato che la Pasqua cade

• il Marzo se ;
• il Aprile se .

La regola vale con due eccezioni:

• se e allora la Pasqua cade il 19 Aprile;
• se e , per e , allora la data di Pasqua è il 18 Aprile.

Il metodo è valido per ogni N positivo minore di 4200. Per quest’anno, ad esempio,

,

Poiché , secondo Gauss la Pasqua dovrebbe cadere il Aprile. Per quest’anno c’ha preso…

L’esecuzione sopra, dalla scena II del I Atto dell’Aida, è eseguita sotto la direzione di H. von Karajan e (stando alla nota riportata su Youtube) è stata elaborata per esaltare l’effetto soffuso di un canto mistico in un tempio pieno di stanze e colonne, mentre le immagini, come avrete notato, sono della Valle dei Re. La scena, in effetti, è il tempio di Ptha a Menfi. Il libretto di Ghislanzoni, musicato da Verdi, recita così:

Osiride (sì, lo so, è verde...)

Sacerdotesse
Possente Fthà, del mondo
spirito animator
noi ti invochiamo!
Immenso Fthà, del mondo
spirto fecondator,
noi ti invochiamo!
Fuoco increato, eterno,
onde ebbe luce il sol,
noi ti invochiamo!

Sacerdoti
Tu che dal nulla hai tratto
l’onde, la terra e il ciel,
noi ti invochiamo!
Nume che del tuo spirito
sei figlio e genitor,
noi ti invochiamo!
Vita dell’universo
mito di eterno amor,
noi ti invochiamo!

Il dio in questione è Ptah, creatore e demiurgo, spirito primordiale ma anche artigiano (infatti il libretto dell’Aida indica «tempio di Vulcano»). Non so se Ghislanzoni ha intenzionalmente inserito l’espressione «Nume che del tuo spirito/sei figlio e genitor» in riferimento a Ptah, ma certo è che la mitologia egizia è piena di contorsioni, come ogni mitologia: Ptah è stato identificato spesso in seguito con Osiride, di cui parla, ad esempio, Plutarco nei suoi Moralia in un celeberrimo, lungo passo. Osiride è la benevola divinità che ha fondato la Civiltà e insegnato all’uomo l’agricoltura, fondamentale un po’ come da noi Prometeo, in lotta col fratello Seth, da cui viene affogato con uno stratagemma nel Nilo, resuscitato dalla sorella Iside (da cui ebbe in figlio Horus), ucciso ancora una volta da Seth e smembrato, rimontato e risuscitato ancora una volta dalla moglie-sorella (che peraltro non riuscì a ritrovare pene e testicoli, mangiati pare da un pesce – materiale per i freudiani).

Osiride che risorge.

La resurrezione, in un popolo così sensibile al tema della morte come quello egizio, è quindi un topos ricorrente e per le divinità entrare ed uscire dal mondo dei morti sembra quasi naturale, mentre anche per gli uomini questa vita non sembrava altro che un surrogato della prossima. Osiride diventerà poi la divinità giudicatrice dei morti: per la preparazione a tale giudizio occorreva munirsi dell’apposito Libro dei Morti e sperare nel superamento della celebre prova del bilancino.

Il figlio di Osiride, Horus, è stato associato a Gesù dal discusso studioso autodidatta inglese G. Massey, che in alcuni lavori che si possono trovare sui siti della ancora più discussa Società Teosofica che si fonda sulle sue opere, ebbe un colpo di testa niente male e si fece convinto (e tentò di convincere) del fatto che Gesù non è altro che una versione riveduta del mito pagano di Horus. A discolpa di Massey occorre notare che il periodo in cui si diffuse la religione cristiana nell’Impero coincise con una fase confusa e complicata, in cui i culti misterici erano capillarmente diffusi. Comunque sia, le idee di Massey han continuato a fare il giro del mondo accademico per un pezzo e sono state riprese dalla archeologa D.M. Murdock. Ho fatto un giro per capire come stanno le cose, ma pare che imperversi la zuffa tuttora, in una sequenza di resurrezioni e concepimenti mistici, annunciazioni e combattimenti col Maligno che si ammiccano ma non sembrano chiamarsi direttamente.

Vita opere e miracoli di Horus (secondo l'ipotesi di Massey)

D’altronde è noto che la cultura ebraica deve molto alla tradizione egizia, a cominciare dai Dieci comandamenti – che sono presenti quasi identici nel Libro dei Morti – fino probabilmente allo stesso monoteismo, introdotto storicamente in Occidente per la prima volta da Akhenaton in una forma piuttosto primitiva, mentre il Cristianesimo si diffuse in un ambiente (quello imperiale del I secolo) caratterizzato da una fortissima tendenza al sincretismo religioso e da una rinascita di interesse verso i culti orientali ed egizi in particolare (a cominciare da Augusto che volle farsi inumare dopo aver visto la tomba di Alessandro, in controtendenza rispetto alla tradizionale cremazione greco-romana).

Secondo svariate religioni, tuttavia, la resurrezione non è prerogativa degli dei: come per i cristiani (che, con tante piccole varianti quante sono le varie chiese, sette e simili, credono nella resurrezione nel Giorno del Giudizio), anche nel culto inaugurato da Zarathustra (vissuto almeno ottocento anni prima di Cristo) giungerà un giorno in cui l’umanità sarà riscattata dal male e gli uomini risorgeranno, immortali. Qualcosa di simile avverrà secondo i musulmani, la cui dottrina è (nell’ottica coranica) un compimento di quella delle genti del Libro, ovvero della Bibbia.

Sporadicamente dei mortali ritornano dall’Ade anche nella Grecia antica (si pensi ad Alcesti e, se Orfeo avesse avuto un po’ più di pazienza, Euridice), ma si tratta di casi del tutto eccezionali, frutto di una concessione divina estrema degna di un racconto epico. Già la catabasi, come appunto quella di Orfeo o Odisseo, è un fatto eccezionale… Per quanto riguarda il resto, non ci si può aspettare più che aver lasciato una tenue impronta, un’ombra che rimarrà nell’Ade a piangere il tempo perduto, e l’aldilà è un immenso contenitore di rimpianti: unica consolazione è il ricordo di chi ancora vive sulla Terra. Insomma, conviene vivere bene e intensamente, per guadagnarsi l’eternità: per il resto, come ricorda Omero,

                               quale delle foglie,
tale è la stirpe degli umani. Il vento
brumal le sparge a terra, e le ricrea
germogliante selva a primavera.
Così l’uom nasce, così muor.

Tutto qua.